程序编译的第一个阶段是词法分析，即把字节流识别为记号（token）流， 提供给下一步的语法分析过程。而识别记号的方法就是正则表达式的分析。 本文介绍利用有限自动机分析表达式的方法。 ————————- # 概念

  • 记号 有字母表中的符号组成的有限长度的序列。记号s的长度记为|s|。 长度为0的记号称为空记号，记为ε。

  • 有限自动机(Finite State Automaton) 为研究某种计算过程而抽象出的计算模型。 拥有有限个状态，根据不同的输入每个状态可以迁移到其他的状态。

  • 非确定有限自动机(Nondeterministic Finite Automaton) 简称NFA，由以下元素组成：
    1. 有限状态集合S；
    2. 有限输入符号的字母表Σ；
    3. 状态转移函数move；
    4. 开始状态 s0；
    5. 结束状态集合F，F ∈ S。 自动机初始状态为s0，逐一读入输入字符串中的每一个字母，根据当前状态、读入的字母， 由状态转移函数move控制进入下一个状态。如果输入字符串读入结束时自动机的状态属于结束状态集合F， 则说明该自动机接受该字符串，否则为不接受。
  • 确定有限自动机(Deterministic Finite Automaton) 简称DFA，是NFA的一种特例，有以下两条限制：
    1. 对于空输入ε，状态不发生迁移；
    2. 某个状态对于每一种输入最多只有一种状态转移。

将正则表达式转换为NFA(Thompson构造法)

算法

算法1: 将正则表达式转换为NFA(Thompson构造法)

  • 输入: 字母表Σ上的正则表达式r
  • 输出: 能够接受L(r)的NFA N

  • 方法: 首先将构成r的各个元素分解，对于每一个元素，按照下述规则1和规则2生成NFA。

    注意: 如果r中记号a出现了多次，那么对于a的每次出现都需要生成一个单独的NFA。 之后依照正则表达式r的文法规则，将生成的NFA按照下述规则3组合在一起。

    • 规则1: 对于空记号ε，生成下面的NFA。

      fig01.png

    • 规则2: 对于Σ的字母表中的元素a，生成下面的NFA。

      fig02.png

    • 规则3: 令正则表达式s和t的NFA分别为N(s)和N(t)。

      1. 对于s|t，按照以下的方式生成NFA N(s|t)。

        fig03.png

      2. 对于st，按照以下的方式生成NFA N(st)。

        fig04.png

      3. 对于s*，按照以下的方式生成NFA N(s*)。

        fig05.png

      4. 对于(s)，使用s本身的NFA N(s)。

性质

算法1生成的NFA能够正确地识别正则表达式，并且具有如下的性质：

  1. N(r)的状态数最多为r中出现的记号和运算符的个数的2倍。
  2. N(r)的开始状态和结束状态有且只有一个。
  3. N(r)的各个状态对于Σ中的一个符号，或者拥有一个状态迁移，或者拥有最多两个ε迁移。

示例

利用算法1，根据正则表达式 r=(a|b)*abb 可以生成以下的NFA。

fig06.png

将NFA转化为DFA

算法

使用以下的算法可以将NFA转换成等价的DFA。

算法2: 将NFA转化为DFA

  • 输入: NFA N
  • 输出: 能够接受与N相同语言的DFA D

  • 方法: 本算法生成D对应的状态迁移表Dtran。DFA的各个状态为NFA的状态集合， 对于每一个输入符号，D模拟N中可能的状态迁移。

    定义以下的操作。

    操作说明
    ε-closure(s)从NFA的状态s出发，仅通过ε迁移能够到达的NFA的状态集合
    ε-closure(T)从T中包含的某个NFA的状态s出发，仅通过ε迁移能够到达的NFA的状态集合
    move(T, a)从T中包含的某个NFA的状态s出发，通过输入符号a迁移能够到达的NFA的状态集合

    令 Dstates 中仅包含ε-closure(s), 并设置状态为未标记;

      while Dstates中包含未标记的状态T do
  begin
    标记T;
    for 各输入记号a do
    begin
      U := ε-closure(move(T, a));
      if U不在Dstates中 then
        将 U 追加到 Dstates 中，设置状态为未标记;
      Dtrans[T, a] := U;
    end
  end

    ε-closure(T)的计算方法如下：

      将T中的所有状态入栈;
  设置ε-closure(T)的初始值为T;
  while 栈非空 do
  begin
    从栈顶取出元素t;
    for 从t出发以ε为边能够到达的各个状态u do
      if u不在ε-closure(T)中 then
      begin
        将u追加到ε-closure(T)中;
        将u入栈;
      end
  end

示例

将上面生成的NFA转化为DFA。

最初，Dstates内仅有ε-closure(0) = A = {0, 1, 2, 4, 7}。然后对于状态A，对于输入记号a，计算 ε-closure(move(A, a)) = ε-closure(move({0, 1, 2, 4, 7}, a)) = ε-closure({3, 8}) = {1, 2, 3, 4, 6, 7, 8}， 即 B={1, 2, 3, 4, 6, 7, 8}, Dtran[A, a]=B。 对于状态A，由输入记号b能够到达的仅有4->5，因此 C = ε-closure({5}) = {1, 2, 4, 5, 6, 7}， 即 Dtran[A, b] = C。

以此类推，可得到以下的状态和Dtran。

A = {0, 1, 2, 4, 7}          D = {1, 2, 4, 5, 6, 7, 9}
B = {1, 2, 3, 4, 6, 7, 8}    E = {1, 2, 4, 5, 6, 7, 10}
C = {1, 2, 4, 5, 6, 7}
状态输入符号
ab
ABC
BBD
CBC
DBE
EBC

由此得出DFA如下图所示。

fig07.png

NFA和DFA的效率

给定正则表达式r和输入记号序列x，判断r是否能够接受x。

使用NFA的情况下， 由正则表达式生成NFA的时间复杂度为O(|r|)，另外由于NFA的状态数最多为r的2倍，因此空间复杂度为O(|r|)。 由NFA判断是否接受x时，时间复杂度为O(|r|×|x|)。因此，总体上处理时间与 r、x的长度之积成比例。 这种处理方法在x不是很长时十分有效。

如果使用DFA，由于利用DFA判断是否接受x与状态数无关，因此时间复杂度为O(|x|)。但是DFA的状态数 与正则表达式的长度呈指数关系。例如，正则表达式 (a|b)*a(a|b)(a|b)...(a|b)，尾部有 n-1 个 (a-b)的话， DFA最小状态数也会超过 2SUP{n}。